Дзета-функция на комплексной плоскости

Физикам из Великобритании удалось применить дзета-функцию Римана - один из важнейших инструментов теории чисел - для описания замерзания неупорядоченных систем (например, стекол). Статья ученых появилась в журнале Physical Review Letters, а ее краткое изложение приводится на сайте Американского физического общества.

Дзета-функция, представляющая собой некий, зависящий от параметра, ряд, была впервые введена в работах Леонарда Эйлера в XVIII веке. В дальнейшем эта функция изучалась Иоганном Дирихле, Пафнутием Чебышевым, но самые интересные для приложений свойства этого объекта были открыты Георгом Риманом, в честь которого она и получила свое название. Эта функция, в частности, тесно связана с распределением простых чисел на числовой прямой, поэтому, в частности, в связи с бурным развитием криптографии, этот объект привлекает пристальное внимание ученых.

В рамках новой работы ученым удалось с помощью численного моделирования и формул (то есть аналитически) связать поведение неупорядоченных систем с экстремальными значениями на отрезках так называемой критической прямой. По словам исследователей, несмотря на то, что практическое применение их работы, вообще говоря, сомнительно, их результат призван установить взаимосвязь между классическими математическими задачами и конкретными физическими приложениями.

С дзета-функцией связана гипотеза Римана - одна из семи так называемых Задач тысячелетия, за решение каждой из которых математический институт Клэя предлагает награду в миллион долларов (одна из задач - доказательство гипотезы Пуанкаре - была решена Григорием Перельманом, но он отказался от награды). Суть гипотезы заключается в том, что все точки, в которых дзета-функция обращается в ноль, в правой полуплоскости лежат на одной прямой, называемой критической (эта же прямая фигурировала в работе физиков.

Источник